Фоменко Анатолий Тимофеевич

О выставке картин

Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным вопросам, - например, в многомерной геометрии, в вариационном исчислении и т.п., - активно используется "наглядный жаргон", выработавшийся при исследовании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде - "разрежем поверхность", "склеим листы поверхности", "приклеим цилиндр", "вывернем сферу наизнанку", "присоединим ручку" и проч. Такая, - на первый взгляд "ненаучная" терминология, - отнюдь не прихоть математиков. Скорее, - "производственная необходимость".

Математическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные образы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала "разглядеть" лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение. У каждого профессионального математика со временем вырабатываются свои собственные представления о внутренней геометрии известного ему математического мира. А также - о наглядных образах, с которыми у него ассоциируются те или иные абстрактные математические понятия из алгебры, теории чисел, математического анализа. Оказывается, - и это чрезвычайно интересно, - что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают очень похожие (иногда практически тождественные!) геометрические представления. Причем эти образы "реально существуют", проявляясь в общении математиков и помогая им лучше понять друг друга.

Предлагаемый графический материал – это попытка как бы сфотографировать изнутри своеобразный мир современной математики. Все рисунки либо основаны на конкретных математических конструкциях, идеях, теоремах, либо изображают реальные математические объекты и процессы, либо отражают абстрактные математические понятия, например, бесконечность, непрерывность, гомеоморфизм, гомотопию и т.п.

Автор многие годы читает в МГУ обязательный курс "Дифференциальная геометрия и топология", а также специальные курсы по современной геометрии и приложениям. Поэтому по собственному опыту знает, как полезно иногда проиллюстрировать сложное математическое понятие неформальным рисунком. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие графические работы имеют утилитарный характер. Не следует думать, что они идеально соответствуют своим математическим "прототипам". Сюжет каждой работы построен на сугубо субъективных ассоциациях и передает лишь авторское видение математического "персонажа". Надо отдавать себе отчет в объективных трудностях, возникающих на этом пути. Невозможно (да и не нужно) идеально точно нарисовать на плоском листе бумаги объект, "живущий", скажем, в семимерном пространстве. Ведь мы привыкли лишь к трехмерным (и двумерным) образам. Поэтому, "семимерный персонаж" поневоле искажается, будучи принудительно помещен в трехмерное пространство. Приходится жертвовать точностью в пользу наглядности.

Многие работы выполнены в шутливом тоне. Внесение некоторой эмоциональности открывает большие возможности. Поэтому автор не сдерживал себя, когда удавалось придать рисунку юмористический колорит. Кроме того, многие работы апеллируют скорее к эмоциям зрителя, чем к рациональной стороне его мышления. Возникла мысль снабдить графические работы математическими и нематематическими комментариями. Кроме математики, почти все работы отражают еще один, "второй слой" информации. Речь идет о внематематических ассоциациях, возникавших у автора в процессе работы. Они оказались эмоциально разнообразными. То это шутка и желание увидеть в "сфере с пятью ручками" забавное необычное существо, то - гротеск, неожиданно искажающий привычные пропорции и масштабы. Заставляющий подивиться совсем обычным вещам. То это воспоминания о каких-то средневековых мифах. Приводя фрагменты тех или иных мифов, автор устраняется от их оценки. Миф интересен тем, что отражает представления наших предков. Конечно, сегодня многие из легенд представляют всего лишь литературный интерес.

Несколько слов о предыдущих публикациях и выставках этих работ.

Первым авторским опытом в области графической визуализации сложных современных математических понятий были иллюстрации к книге Д.Б.Фукса, А.Т.Фоменко, В.Л.Гутенмахера "Гомотопическая топология", изд-во МГУ, 1967, 1968 и 1969 гг. Она пользовалась большой популярностью среди математиков. Определенную роль в этом сыграли и иллюстрации. Этот цикл работ (в расширенном виде, около 40 иллюстраций) вошел затем в большую монографию А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукса "Курс гомотопической топологии", М. Наука, 1989.

В 1990 году Американское Математическое Общество издало мою книгу-альбом "Mathematical Impressions", включающую 84 работы (из которых 23 выполнены в цвете), снабженные математическими комментариями, кратко разъясняющими сюжеты работ. Это было высококачественное издание крупного формата. Следующим шагом можно считать книгу автора "Наглядная геометрия и топология", Москва, изд-во МГУ, 1993.

В 1994 году она была переведена на английский язык издательством Springer. Ряд работ был опубликован во многих математических книгах других математиков, по их просьбе. Назову здесь лишь: 1) прекрасные монографии американского математика Н.Коблитца "A Course in Number Theory and Cryptography", "Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms", "P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions" (Springer-Verlag), 2) книгу выдающегося российского математика, члена-корреспондента РАН, А.Н.Ширяева "Probability" (Springer-Verlag), 3) совместную книгу французского математика Жакода и Ширяева "Limit theorems for stochastic processes" (Springer-Verlag), 4) совместную книгу известных математиков: российского - В.В.Калашникова и болгарского - С.Т.Рачева, "Математические методы построения стохастических моделей обслуживания" (Наука), 5) пользующуюся большой популярностью книгу российских математиков Ю.Г.Борисовича, Н.М.Близнякова, Я.А.Израилевича и Т.Н.Фоменко "Введение в топологию" (несколько изданий: Высшая школа, Мир, Наука, затем голландское изд-во Kluwer), 6) уникальную книгу болгарского математика Й.Стоянова "Counterexamples in Probability" (John Wiley & Sons) и другие. Кроме того, довольно много графических работ было опубликовано в разные годы в центральных газетах и журналах. В частности, в газетах "Советская культура", "Комсомольская правда", "Социалистическая индустрия", "Московские новости", "Вечерний Клуб" и др., а также в журналах "Наука и жизнь", "Техника и наука", "Химия и жизнь", "Наука и религия", "Техника молодежи", "Культура и жизнь", "Квант", "Советская жизнь", в ежегоднике "Наука и человечество" и др.

Много публикаций появилось также в зарубежной специальной и научно-популярной прессе. Например, в американском журнале "The Mathematical Intelligencer". Работы многократно выставлялись на выставках, организованных в разные годы (в основном, на общественных началах, по просьбам зрителей) в научных, учебных, производственных центрах Москвы, Ленинграда, Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Персональные официальные выставки происходили также в художественных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (сейчас - Kluwer) организовало персональную выставку в Амстердаме.

Кроме перечисленных персональных выставок (их насчитывается около 100), работы участвовали в известных всесоюзных и международных выставках "Ученые рисуют" (1982 г.) и "Время-пространство-человек" (1980 г.), экспонировавшихся во многих городах страны и за рубежом. На киностудии "Союзмультфильм" в 1988 году режиссером В.И.Тарасовым был создан с использованием моих работ получасовой мультфильм "Перевал" по повести К.Булычева. Довольно много работ было также использовано в двухсерийном телефильме Т.А.Лебедевой "Мир и война" (Центральное телевидение). Определенный интерес читателей и зрителей к перечисленным публикациям и выставкам дает автору смелость осуществить издание настоящего альбома.

Ввиду отсутствия специального художественного образования, автор не ограничивал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали любимые художники Босх, Брейгель, Дали, Эшер, Беклин, Дюрер, хотя сознательного подражания им никогда не было. Все рисунки выполнены "от руки", без использования компьютерной графики…

Работы c описанием

Математика: Рогатая сфера (сфера Александера).

Изображена так называемая "рогатая сфера" или "сфера Александера" - объект, хорошо известный в трехмерной топологии и в топологии многообразий. Он позволяет наглядно продемонстрировать один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая - дополнению к этому шару в пространстве. Важной характеристикой этих областей является их односвязность. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.
Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм - это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение). Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых "диких") вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.
Такое вложение строится последовательно, поэтапно и является "пределом" (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому - локально плоских) вложений. Нужно "зацепить пальцы рук" как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из "конца" каждого пальца" вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется. "Переходя к пределу", мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оказывается, оно не является локально плоским в бесконечном числе точек. Замечательным обстоятельством является тот факт, что получившаяся "рогатая сфера" разбивает трехмерное евклидово пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая - неодносвязна.

Мифология
Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т.п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), - противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывается, вероятно, на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам (тоже - важный топологический объект). Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).

Математика: Топологический зоопарк.

Картина Фоменко А.Т. Топологический зоопарк

Изображены некоторые интересные двумерные полиэдры, возникающие в топологии, геометрии, теории минимальных поверхностей и позволяющие наглядно продемонстрировать нетривиальные математические теоремы. Справа вверху зритель видит юмористическую сценку. "Оживший полиэдр" разваливается на свои составные части - раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост "скорпиона" наглядно моделирует конструкцию полиэдра. Хорошо видно - как именно нужно склеивать "раковины", чтобы восстановить весь полиэдр. Показано выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (т.е. вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (при помощи гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в результате снова получится тор с дыркой. Однако при этом параллель и меридиан начального тора поменяются местами. Другими словами, внутренняя поверхность тора станет внешней, а внешняя - внутренней. Слева внизу (в тени колонны) лежит "ожерелье Антуана" - известный объект в общей топологии.
Рядом (на освещенной площадке) - минимальная поверхность (мыльная пленка). Ее границей является окружность, обладающая тем замечательным свойством, что пленка может быть непрерывно отображена на свою границу, и при этом граница останется неподвижной. Этот пример Дж.Ф.Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Видно, что эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса.
В центре зала показан 2-адический соленоид, - топологический объект, подробнее о котором будет рассказано далее.

Мифология
Любопытен медвежий праздник, устраиваемый айнами - народностью острова Йезо, а прежде - на острове Сахалин. Айны, хотя и убивали медведя при первой возможности, при разделке туши стараются умиротворить божество, представителя которого они убили, с помощью целой системы просительных обрядов. Они усаживаются вокруг зверя, кланяются ему, дарят подарки. Если медведь попал в ловушку и поранился, охотники справляют искупительный обряд. Многие айны гордятся тем, что происходят от медведя. Три жреца наблюдают за правильностью исполнения обрядов.

Математика: Спектральная последовательность.

Картина Фоменко А.Т. Спектральная последовательность

В алгебраической топологии при вычислении групп гомологий и когомологий пространств часто используется метод спектральных последовательностей. Для этого пространство стараются представить в виде расслоения, после чего алгебраическим путем вычисляется бесконечная последовательность таблиц. Каждая такая таблица называется членом спектральной последовательности. Таблицы связаны между собой дифференциальными операциями. С их помощью вычисляется некоторая "предельная таблица", которая и дает нам нужные сведения о гомологиях (когомологиях) расслоенного пространства.
На рисунке условно изображена структура таких таблиц. Они бесконечны и разбиты на ячейки (клетки), в каждой из которых помещается некоторая группа. Геометрическая информация о пространстве расслоения перерабатывается в набор алгебраических фактов, характеризующих эти таблицы. Если расслоение является прямым произведением, то достаточно вычислить лишь первую таблицу. Остальные с ней совпадают. Если же расслоение нетривиально, то последующие таблицы получаются из предыдущих более сложным образом.

Мифология
Практически у всех народов птицы выступают как непременный элемент божественной сути. На мировом дереве (древе жизни) птица занимает место на вершине. Чаще всего это - орел. Обычно птица соотносится с громовержцем: Зевсом, Юпитером, Индрой. Иногда орел или ворон выступают как творцы вселенной. Образ птицы породил фантастические создания в мифологии: птица Гаруда у индийцев, птица Рух у арабов, жар-птица на Руси и т.д. На мировом древе птица противопоставляется "нижним животным". В первую очередь, - змее.

Математика: Между двумя максимумами всегда есть седловая критическая точка.

Картина Фоменко А.Т. Между двумя максимумами всегда есть седловая критическая точка.

Известная теорема (т.н. принцип перевала) гласит следующее. Пусть гладкая функция Морса (т.е. с невырожденными критическими точками) определена на связном многообразии и имеет на нем по крайней мере два локальных максимума. (Вместо максимумов можно рассмотреть минимумы). Тогда "между ними" обязательно есть седловая критическая точка, т.е. "перевал". Идея доказательства интуитивно ясна. Нужно соединить на графике функции две точки максимума резиновой нитью, целиком лежащей на графике, и отпустить ее, запрещая покидать график. Нить начнет скользить по нему, и в конце концов где-то остановится. Ясно, что при этом она пройдет через седло. На рисунке - скалистый пейзаж, соответствующий графику функции с четырьмя максимумами. Здесь они порождают три седла.

Мифология
Огромная стая птиц закрывает небо. Птицы - один из важнейших элементов практически всех средневековых культов. Вороньи стаи становились объектом толкования и предсказания. Жрецы гадали по форме стаи. Иногда ворона - символ коварства, в Японии - вестник богов, в Греции - вестник плохих вестей, но символ долголетия, во Франции и Италии - птица, приносящая несчастье. Гусь иногда выступал как символ космического хаоса. В средневековой Западной Европе считали, что гуси - ездовые животные ведьм. Дятел в христианской традиции - символ ереси и дьявола (?). Ворон - часто эквивалент орла, выступает в роли творца мира. Считался загадочной птицей, несущей угрозу. В сказках встреча воина или рыцаря в вороном часто - дурное предзнаменование. Впрочем, иногда ворон открывает какую-либо тайну герою.

Математика: Турбулентность.

Геометрическая фантазия на тему турбулентности и динамических систем. Хаотическое движение траекторий сложных динамических систем (эргодических систем) ассоциируется с эффектом турбулентности в потоках реальной жидкости или газа. Движение раскаленных частиц в потоке пламени подчиняется чрезвычайно сложным закономерностям, часть которых может быть описана дифференциальными уравнениями в частных производных.

Мифология
Картина посвящена памяти замечательного литовского поэта и художника М.К.Чюрлениса. Ассоциативная связь с его известной картиной «Над вечным покоем». Странствующий корабль-парусник в ночном океане. Легенда о «Летучем Голландце», обреченном бесконечно бороздить моря и внушать страх встречным кораблям. Раз в году при приближении зимы «Летучий Голландец» уходит далеко на юг к печально знаменитому мысу Горн и пытается обогнуть его, чтобы прорваться из Атлантического океана в Тихий. Однако тяготеющее над ним проклятие не пускает корабль.
Другая ассоциация — легенда о Ноевом ковчеге. В первой библейской Книге Бытия рассказывается: воды подняли ковчег, и он отправился в плавание по поверхности океана, который полностью скрыл под собою всю прежнюю землю. Говорится, что вода поднялась на пятнадцать локтей выше самых высоких гор и погибли все, жившие до Потопа (Бытие, 7:17-20). Когда потоп кончился, вода стала спадать и ковчег, наконец, пристал к вершине горы. Согласно некоторым версиям, это гора Арарат (во всяком случае, сообщения о том, что остатки ковчега найдены здесь в Х1Х-ХХвв. появлялись неоднократно).

Математика: Гомотопия и вязкая жидкость.

Картина Фоменко А.Т. Гомотопия

Иллюстрируется общая идея гомотопии - непрерывной деформации объекта, при которой разрешены "склейки", но запрещены "разрывы". Удачным наглядным образом является деформация тяжелой вязкой жидкости, вытекающей из какого-то сосуда (на рисунке эта жидкость выливается из отверстий в небосводе). Те свойства объектов, которые сохраняются при гомотопиях, называются гомотопически инвариантными свойствами.
Мифология
Начало всемирного потопа. Легенды о великом потопе, в котором погибло почти все человечество, широко распространены по всему миру. Согласно одной из средневековых версий бог дал человечеству недельный срок, чтобы оно раскаялось. В продолжение этого срока солнце каждое утро всходило на западе и заходило каждый вечер на востоке. Но ничто не могло привести к раскаянию нечестивцев, они продолжали издеваться над Ноем. Тогда бог открыл в небе несколько отверстий, сдвинув звезды из созвездия Плеяд. Вода обрушилась на землю, из-под которой тоже выступили подземные "нижние воды". Грешники в числе около семисот тысяч человек собрались и окружили Ноев ковчег, умоляя взять их с собой. Ной отказался. Тогда они принялись взламывать дверь ковчега, но дикие звери, охранявшие судно, напали на них и многих сожрали. Остальные потонули в поднявшемся океане.